因数分解についてまとめます！
因数分解は、与えらた整式を整式の積の形にすることです。
例えば
\(x^2+x\)
のような式を
\(x(x+1)\)
のような形にすることです。この時、\(x\)や\(x+1\)のことを
因数といいます。
簡単に言えば、因数分解は展開の逆の式変形になります。
公式を列挙しておきます。
- \(ma+mb=m(a+b)\)
- \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
- \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
- \(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
なぜこうなるのか？というとそれは右の辺を展開したら左になるからと
いう理屈です。
因数分解は、公式を覚えるというよりは、練習問題をこなして、やりかたを
覚えるのがいいです。
やり方の理屈を理解するというよりは、今から書く
やり方をすれば、正しい答えが出来上がるという感じです。
やはりここでも答えを展開したら元の式になるから正しいという考え方でよいでしょう。
1つ目の式です。
式の共通の因数をくくり出しているだけです。例を挙げておきます。
\(3x^2+6x=3x(x+2)\)
ここでは、\(3x^2\)と\(6x\)をみて共通の因数を見つけます。
両方ともは\(3x\)で割り切れるので\(3x\)が共通の因数となります。
あとは作業です。
\(3x^2 \div 3x =x\)
\(6x \div 3x =2\)
をして\(3x\)と\(x\)と\(2\)を正しい順にならべたら正しい答えになります。
2つ目の公式の例です。ここでは正しい考え方をいきなりかいてしまいます。
始めは、正しい考え方にたどり着けませんが、因数分解をいくつも
訓練することで、しだいに正しい答えにたどり着く時間が短くなってきます。
ではいきましょう。
〇\(x^2+6x+9\)の因数分解をします。
まず\(9\)に注目します。
・9は3の2乗です。
・そして6が、その3の2倍です。
この二つの条件がそろったとき
\(x^2+6x+9\)は
\((x+3)^2\)となります。
たまたま2乗と2倍の条件に当てはまった3があったので、
このように因数分解できたわけです。
\((x+3)^2\)を展開すれば、\(x^2+6x+9\)になりますよね！
ちなみに\x^2-6x+9(\)でしたら\((x-3)^2\)です！
因数分解したら必ず、展開をしてみてください。
これを繰り返すと因数分解が身に付きやすいです。
〇\(4x^2-16\)を因数分解します。
・\(4x^2\)は\(2x\)の2乗ですね。
・16は4の2乗です。
この２つの条件がそろえば、「2乗引く2乗は和と差の積」です。
\(2x\)と4を正しい位置に書いたら正解になります。
\(4x^2-16=(x+4)(x-4)\)
〇\(x^2-9xy+8y^2\)を因数分解します。
・8は-1×-8です。
・-9は(-1)＋(-8)です。
同じ数字(-1と-8のこと)の掛け算と足し算で8と-9があらわされたら、あとは数字を次のように
ならべるだけです。
\((x+(-1)y)(x+(-8)y)\)
このままでしたら式が見にくいですね。整理したら完了です。
\((x-y)(x-8y)\)
〇\(6x^2+22xy+20\)を因数分解します。
6はどんな数字の掛け算でできているかなと考えます。
1と6、2と3ですね。
次に20はどんな数字の掛け算でできているかなと考えます。
1と20、2と10、4と5ですね。
勘でいいですので、1と6もしくは2と３のどちらかを選びます。
同じように勘で、1と20もしくは2と10もしくは4と5を選びます。
（ここでは正解を選びます。2と3、4と5を選びます。）
下のように書いてください
２ ４
３ ５
-----------------
６ ２０
縦に掛け算したら下になってます。
次にクロスするように上二つの数字を掛けます。
２と５、４と３をそれぞれかけて右に書きます。
２ ４ １２
×
３ ５ １０
-----------------
６ ２０
次にでてきた12と10を足します。
２ ４ １２
× +
３ ５ １０
-----------------
６ ２０ ２２
ここでたまたまですが、22がでてきました。
\(6x^2+22xy+20\)の22と同じですね。
この時、式は\((2x+4y)(3x+5y)\)と書けます。
このやりかたはたすき掛けといいます。
2と3をえらんだのも4と5を選んだのも
２ ４
３ ５
上のような数字の配置にしたのも当てずっぽうです。
計算途中では
３ ４
２ ５
としてもおかしくありません。このとき最後にでてくるはずの22は
3×5=15と2×4=8の足し算で23になってしまいます。
23だったら公式は使えないので間違いということになります。
たすき掛けは、当てずっぽうで何回も掛け算と足し算を繰り返して、
今だったら22になるような数字の配置を探すことになります。
少し複雑ではあります。訓練が必要ですね。
 のような式を \(x(x+1)\) のような形にすることです。この時、\(x\)や\(){kind=link}